Un puzzle relativo ai cicli annidati

Per un dato input N, quante volte viene eseguita la dichiarazione allegata?

for i in 1 … N loop for j in 1 … i loop for k in 1 … j loop sum = sum + i ; end loop; end loop; end loop; 

Qualcuno può capire un modo semplice o una formula per farlo in generale. Spiega per favore.

  • Innanzitutto, ho scritto un codice C per generare una sum:
 int main(){ int i =0, k =0, j =0, n =0; int N =0; int sum =0; N =10; for (n=1; n <= N; n++){ // unindented code here sum =0; for (i=1; i<=n; i++) for (j=1; j<=i; j++) for (k=1; k<=j; k++) sum++; printf("\n N=%d sum = %d",n, sum); } printf("\n"); } 
  • Semplice compilazione e generazione del risultato per N=1 to N=10 :

$ gcc sum.c
$ ./a.out

  N=1 sum = 1 N=2 sum = 4 N=3 sum = 10 N=4 sum = 20 N=5 sum = 35 N=6 sum = 56 N=7 sum = 84 N=8 sum = 120 N=9 sum = 165 N=10 sum = 220 
  • Quindi, ho cercato di esplorare How this works? con alcuni diagrammi:

    Per, N=1 :

 i<=N, (i=1) | j<=i, (j=1) | k<=j, (K=1) | sum=0. sum++ ---> sum = 1 

Questo è (1) = 1

Per, N=2 :

 i<=N, (i=1)-------(i=2) | |-----|-----| j<=i, (j=1) (j=1) (j=2) | | |----|----| k<=j, (K=1) (K=1) (K=1) (K=2) | | | | sum=0, sum++ sum++ sum++ sum++ --> sum = 4 

Quello è (1) + (1 + 2) = 4

Per, N=3 :

 i<=N, (i=1)-------(i=2)--------------------(i=3) | |-----|-----| |---------|-------------| j<=i, (j=1) (j=1) (j=2) (j=1) (j=2) (j=3) | | |----|----| | |----|----| |-----|-----| k<=j, (K=1) (K=1) (K=1) (K=2) (K=1) (K=1) (K=2) (K=1) (K=2) (K=3) | | | | | | | | | | sum=0, sum++ sum++ sum++ sum++ sum++ sum++ sum++ sum++ sum++ sum++ --> sum = 10 

Questo è (1) + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) = 10

 N = 1, (1) = 1 N = 2, (1) + (1 + 2) = 4 N = 3, (1) + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) = 10 N = 4, (1) + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4) = 20 N = 5, (1) + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 35 

Infine, ho capito che la sum di N in tre cicli è:

(1) + (sum 0f 1 a 2) + ... + (sum di 1 a (N-2)) + (sum di 1 a (N-1)) + (sum di 1 a N)

oppure possiamo scrivere come:

=> (1) + (1 + 2) + ... + (1 + 2 + .... + i) + ... + (1 + 2 + .... + N-1) + (1 + 2 + .... + N)

=> (N * 1) + ((N-1) * 2) + ((N-2) * 3) + ... + ((N -i + 1) * i) + ... + (1 * N)

Puoi fare riferimento qui per i calcoli di semplificazione: (Ho chiesto QUI )
inserisci la descrizione dell'immagine qui

[ LA TUA RISPOSTA ]

= ( ((N) * (N+1) * (N+2)) / 6 )

E, penso sia corretto. Ho controllato come segue:

 N = 1, (1 * 2 * 3)/6 = 1 N = 2, (2 * 3 * 4)/6 = 4 N = 3, (3 * 4 * 5)/6 = 6 N = 4, (4 * 5 * 6)/6 = 10 N = 5, (5 * 6 * 7)/6 = 35 

Inoltre, la complessità di questo algoritmo è O (n 3 )

MODIFICA :

Il ciclo seguente ha anche lo stesso numero di conteggi, cioè = ( ((N) * (N+1) * (N+2)) / 6 )

 for i in 1 … N loop for j in i … N loop for k in j … N loop sum = sum + i ; end loop; end loop; end loop;